Комбинаторные методы в алгебре n-номов и их применения

Аннотация

Показана эффективность комбинаторных методов в алгебре n-номов
с последующим применением полученных результатов к задачам, решения которых
вызывают определенные трудности при использовании формул обычной (биномной)
алгебры (что полностью подтверждают пророческие слова создателя теории инвариантов
Д. Сильвестра (John James Sylvester): "The part in some sense greater than the whole:general
proposition must be proved easier than any partial case –Часть в некотором смысле
больше целого: общее утверждение должно доказываться легче, чем любой ее частный
случай". Дается оригинальный лаконичный комбинаторный вывод формул сокращенного
умножения степеней n-номов, т.е. n-членных сумм a1 + · · · + an , позволяющие многие
труднорешаемые известными до этого способами задачи перевести в разряд ординарных
задач средствами алгебры n-номов. Особая роль формулы кубов n-членных сумм в
упрощении выкладок заключается в том, что она, к примеру, в частном случае 3-х
переменных, когда a+b+c = 0, упрощается до вида a
3+b
3+c
3 = 3abc , и это есть главный
момент в элиминации сложности решения трудных задач. Самое интересное, что это
условное (т.е. при наличии дополнительных ограничений) тождество допускает обобщение
на n слагаемых: если a1 + · · · + an = 0, то a
3
1 + · · · + a
3
n = 3 P
1≤i<j<k≤n
aiajak . Эффект
упрощения наглядно продемонстрирован на многих примерах, где вместо традиционного
возведения в куб (a1 + · · · + an)
3 используется формула "Сумма кубов равна утроенной
сумме троек aiajak(1 ≤ i < j < k ≤ n) ", что особенно удобно при решении уравнений с
кубическими иррациональностями и в доказательствах кубических соотношений.