n− номдық алгебрадағы комбинаторлық әдiстер және олардың қолданулары

Аңдатпа

Инварианттар теориясының негiзiн қалаушы Д. Силвестердiң (John James Sylvester) "The part
in some sense greater than the whole:general proposition must be proved easier than any partial case - Бөлiк
белгiлi бiр мағынада бүтiннен үлкен: жалпы тұжырым оның дербес жағдайына қарағанда жеңiл дәлелденуi
керек" сөздерiн толығымен растайтын әдеттегi (биномдық) алгебраның формулаларын пайдаланған кезде белгiлi
бiр қиындық тудыратын мәселелерге n -номдар алгебрасында комбинаторлық әдiстердi қолданудың тиiмдiлiгi
көрсетiлген. n -номдар – n -мүшелi a1 + · · · + an қосындылары дәрежелерiнiң қысқаша көбейту формулаларын
дәлелдеудiң оригиналды қысқаша комбинаторлық дәлелдеулерi берiлген. Бұл қорытындылар бұған дейiн белгiлi
әдiстермен қиын шешiлетiн есептердi n -номдар алгебрасының әдiстерi арқылы қарапайым есептер қатарына
әкеледi. n− мүшелi қосындылардың кубтарының формулаларын қолдануын ықшамдаудың маңызды бөлiгi, мысалы
3 айнымалы жағдайда a+b+c = 0 болғанда a
3+b
3+c
3 = 3abc түрiне дейiн ықшамдалады және бұл күрделi есептер
шешуiнiң қиындығын эллиминациялаудың басты бөлiгi. Ең бастысы, бұл шартты (яғни қосымша шарт болғанда)
теңдiк n қосынды жағдайына жалпыланады: егер a1 +· · ·+an = 0 , болса, онда a
3
1 +· · ·+a
3
n = 3 P
1≤i<j<k≤n
aiajak.
Жеңiлдету әсерi көптеген мысалдармен көрсетiлген, онда әдеттегi куб дәрежеге (a1 + · · · + an)
3 шығарудың орнына
"Кубтардың қосындысы ушеселенген үштiктердiң aiajak(1 ≤ i < j < k ≤ n) қосындысына тең" формуласы
қолданылады. Бұл әсiресе кубтық иррационалдықтары бар теңдеулер мен кубтық араәтынастарды дәлелдеуде
қолданылады