Теория приближений, Вычислительная математика и Численный анализ в новой концепции в свете Компьютерного (вычислительного) поперечника

Авторы

  • Н. Темиргалиев Институт теоретической математики и научных вычислений Евразийского национального университета им. Л. Н. Гумилева
  • А.Ж. Жубанышева Институт теоретической математики и научных вычислений Евразийского национального университета им. Л. Н. Гумилева

Ключевые слова:

Компьютерный (вычислительный) поперечник, Теория приближений в качественной и количественной постановках, Вычислительная математика, восстановление по точной и неточной информации, предельная погрешность, новая схема Численного анализа

Аннотация

Во времена стремительно надвигающейся 4-ой промышленной революции,
вызванной развитием компьютерных технологий, особую значимость приобретают методы
оптимальной обработки информации на вычислительных средствах в математических моделях.
Математическим эквивалентом чего является предложенный в 1996 году [1] и сразу же
поддержанный академиком АН СССР и России С.М. Никольским представлением в Доклады
РАН Компьютерный (вычислительный) поперечник (К(В)П), смысл которого состоит
в, надеемся, новом осмыслении теории приближений, вычислительной математики и, в целом,
численного анализа.
В К(В)П начальным является определение
δN (εN ; DN )Y ≡ δN (εN ; T; F; DN )Y ≡ inf
(l
(N)
,ϕN )∈DN
δN

εN ;

l
(N)
, ϕN

Y
, (∗)
где
δN

εN ;

l
(N)
, ϕN

Y
≡ δN (εN ; T; F;

l
(N)
, ϕN

)Y ≡
≡ sup
f∈F,{γ
(τ)
N }
N
τ=1

γ
(τ)
N


≤1(τ=1,....,N)


T f (·) − ϕN

l
(1)
N (f) + γ
(1)
N ε
(1)
N , ..., l(N)
N (f) + γ
(N)
N ε
(N)
N ; ·



Y
.
Здесь математическая модель задается посредством (не обязательно линейного) оператора
T : F 7→ Y , где X и Y − нормированные пространства функций, заданных соответственно
на ΩX и ΩY , F ⊂ X - класс функций. Числовая информация l
(N) ≡ l
(N)

(f) =
l
(1)
N
(f), ..., l(N)
N
(f)

объема N (N = 1, 2, ...) об f из класса F снимается с определенных
на нем линейных функционалов l
(1)
N
, ..., l(N)
N
(в общем случае не обязательно линейных).
Алгоритм переработки информации ϕN (z1, ..., zN ; ·) : C
N ×ΩY 7→ C есть соответствие, которое
при всяком фиксированном (z1, ..., zN ) ∈ C
N как функция от (·) есть элемент Y . Запись
ϕN ∈ Y означает, что ϕN удовлетворяет всем перечисленным выше условиям, а {ϕN }Y
будет
обозначать множество, составленное из всех ϕN ∈ Y . Далее
l
(N)
, ϕN

есть вычислительный
агрегат восстановления по точной информации для функции f ∈ F, действующий по правилу
ϕN

l
(1)
N
, ..., l(N)
N
; ·

.
Восстановление T(f) по неточной информации проводится следующим образом. Сначала
задаются границы неточности – вектор εN =

ε
(1)
N
, ..., ε
(N)
N

с неотрицательными
компонентами. Затем точные значения l
(τ)
N
(f) заменяются с заданной точностью ε
(τ)
N ≥
0 на приближенные значения zτ ≡ zτ (f),



zτ − l
(τ)
N
(f)


≤ ε
(τ)
N
(τ = 1, ..., N), числа
zτ ≡ zτ (f) (τ = 1, ..., N) перерабатываются посредством алгоритма ϕN до функци

ϕN (z1 (f) , ..., zN (f) ; ·), которая и будет составлять вычислительный агрегат
l
(N)
, ϕN , εN


ϕN (z1 (f) , ..., zN (f) ; ·), построенный по информации точности εN =

ε
(1)
N
, ..., ε
(N)
N

.
Пусть DN ≡ DN (F)Y
- данный набор комплексов
l
(1)
N
, ..., l(N)
N
; ϕN

l
(N)
, ϕN

l
(N)
, ϕN ; 0
, подчеркнем, операторов восстановления "по точной информации", как исходных
в данном круге вопросов.
Записи A B и A B соответственно означают |A| ≤ cB(c > 0) и одновременное
выполнение A B и B A .
Величину (*) будем называть "информативной мощностью набора вычислительных
агрегатов (комплексов) DN ≡ DN (F)Y точности εN =

ε
(1)
N
, ..., ε
(N)
N

". В целях сокращения
речи будем говорить "Вычислительный агрегат
¯l
(N)
, ϕ¯N

∈ DN поддерживает оценку снизу
ϑN δN (0; T; F; DN )Y
” , если выполнено неравенство δN

0; T; F;

¯l
(N)
, ϕ¯N

Y ϑN .
В рамках приведенных обозначений и определений проблема оптимального восстановления
по неточной информации с сервисным обслуживанием вычислений на компьютерах,
оформленная под названием "Компьютерный (вычислительный) поперечник", заключается,
в собирательном смысле, в последовательном решении нижеследующих трех задач – К(В)П-1,
К(В)П-2 и К(В)П-3.
При заданных T, F, Y, DN (фиксированных всюду по последующему контексту):
К(В)П-1: Находится порядок δN (0; DN )Y ≡ δN (0; T; F; DN )Y
, – информативная
мощность набора вычислительных агрегатов DN ≡ DN (F)Y
с построением конкретного
вычислительного агрегата
l
(N)
, ϕ¯N

из DN ≡ DN (F)Y
, поддерживающего порядок
δN (0; DN )Y
.
К(В)П-2: Для
l
(N)
, ϕ¯N

исследуется задача существования и нахождения
последовательности ε˜N ≡ ε˜N

DN ;

l
(N)
, ϕ¯N

Y


ε˜
(1)
N
, ..., ε˜
(N)
N

с неотрицательными
компонентами – К(В)П-2-предельной погрешности (соответствующей оптимальному
вычислительному агрегату
l
(N)
, ϕ¯N

) такой, что δN (0; DN )Y δN

ε˜N ;

l
(N)
, ϕ¯N

Y

sup n
kT f (·) − ϕ¯N (z1, ..., zN ; ·)kY
: f ∈ F,

¯lτ (f) − zτ

≤ ε˜
(τ)
N
(τ = 1, ..., N)
o
,
с одновременным выполнением
∀ηN ↑ + ∞(0 < ηN < ηN+1, ηN → +∞) : lim
N→+∞
δN

ηN ε˜N ;

l
(N)
, ϕ¯N

Y
/δN (0; DN )Y = +∞.
К(В)П-3: Устанавливается массивность предельной погрешности ε˜N

DN ;

l
(N)
, ϕ¯N

Y
:
находится как можно большое множество MN

l
(N)
, ϕ¯N

из DN (обычно связанное со
структурой исходного
l
(N)
, ϕ¯N

) вычислительных агрегатов
l
(N)
, ϕN

, построенных по
функционалам l
(1)
1
, ..., l(N)
N
(в общей постановке не обязательно линейным), таких, что для
каждого из них выполнено
∀ηN ↑ +∞(0 < ηN < ηN+1, ηN → +∞) : lim
N→+∞
δN

ηN ε˜N ;

l
(N)
, ϕN

Y
/δN (0; DN )Y = +∞.
Если окажется, что в К(В)П-1 экстремальных вычислительных агрегатов будет больше
одного, то по каждому из них проводится К(В)П-2,-3 анализ, поскольку их вычислительные
качества определяются не только по величине предельной пограшности, но и по
приспособленности структуры вычислительного агрегата к особенностям объекта применения.
"Теория приближений" и "Вычислительная математика" есть, по сути, замена сложного,
в определенном смысле, объекта на простой объект, с конструктивными и вычислительными
преимуществами соответственно, с обязательной оценкой возникающей при этом погрешности.
Как нам представляется, К(В)П-1 в главном должен и может быть количественным описанием
этой словестной формулировки. Именно, Теорию приближений и Вычислительную
математику (линейный аспект) в контексте К(В)П-1 предлагается понимать тзаданных T, F и Y с DN , составленном из всех возможных линейных функционалов над F
и из {ϕN }Y
, требуется построить конкретный вычислительный агрегат ϕN (l1(f), . . . , lN (f), ·)
со свойством
δN (0; T; F; DN )Y sup
f∈F

T f − ϕN (l1(f), . . . , lN (f), ·)


Y
.
Разумеется, дальнейшая конкретизация DN приводит к специальным задачам типа
"Аппроксимативные возможности той или иной системы", "Приближенное вычисление
значений функций, интегралов и иных сложных объектов" и т.п. Особый случай
Теории приближений и Вычислительной математики составляют DN с нелинейными
функционалами.
И, конечно, К(В)П в полном объеме можно рассматривать как новый взгляд на весь
Численный анализ.

Опубликован

2023-01-21

Как цитировать

Темиргалиев, Н., & Жубанышева, А. . (2023). Теория приближений, Вычислительная математика и Численный анализ в новой концепции в свете Компьютерного (вычислительного) поперечника. Вестник Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева. Серия Математика. Компьютерные науки. Механика, 124(3), 8–88. извлечено от https://bulmathmc.enu.kz/index.php/main/article/view/26

Наиболее читаемые статьи этого автора (авторов)

1 2 > >>