Ядро треугольного дифференцирования кольца многочленов ранга 3
Просмотры: 20 / Загрузок PDF: 24
DOI:
https://doi.org/10.32523/bulmathenu.2024/3.2Ключевые слова:
кольцо многочленов, алгебра, алгебраическая независимость, локально нильпотентные дифференцирования, ядро.Аннотация
В настоящей работе рассматривается широкий класс дифференцировании кольца многочленов от трех переменных, так называемые, треугольные локально нильпотентные дифференцирования. Поле, над которым рассматривается кольцо многочленов характеристики 0. Построен алгоритм нахождения ядра треугольного локально нильпотентного дифференцирования, основанный на теорему М. Маяниши. Действия алгоритма осуществляются на такие элементарные понятия, как частное дифференцирование и интегрирование. Алгоритм A.ван ден Эссена, который использует отображение Ж.Диксмье, является общим для всех локально нильпотентных дифференцировании колец многочленов над полем характеристики 0, но здесь не используется треугольность дифференцирования. А в данной работе построенный алгоритм учитывает то, что дифференцирование треугольное и кольцо от трех переменных. При построении алгоритма составлен рекуррентные соотношения и доказана лемма, утверждающая точную степень порождающих многочленов ядра. А также алгебраическая независимость порождающих ядра доказана с помощью треугольного автоморфизма, хотя обычно для этого используется метод базисов Гребнера. Стоит отметить, что алгоритм не работает когда основное поле положительной характеристики. Так как данный алгоритм описывает все основные параметры многочленов, такие как, коэффициенты монома, степени по каждой переменной, его легко можно реализовать через программные языки или математические пакеты. И можно использовать для решения дифференциальных уравнений в многочленах.
Библиографические ссылки
Van den Essen A. Locally finite and locally nilpotent derivations with applications to polynomial flows and polynomial morphisms, Proc. Amer. Math. Soc. 1992. Vol.152. №10. P. 861-871.
Derksen H. The kernel of a derivation, J. of Pure and Applied Algebra. 1993. Vol.84. P.13-16.
Nagata M., Nowicki A. Rings of constants for k-derivations in $k[x_1,x_2,ldots,x_n]$, J. Math. Kyoto Univ. 1988. Vol.28. №1. P.111-118.
Dixmier J. Sur les algèbres de Weyl, Bull. Soc. Math. France. 1968. Vol.96. P. 209–242.
Van den Essen A. Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture. Boston: Birkhauser. 2000. P. 329.
Shestakov I.P., Umirbaev U.U. The tame and the wild automorphisms of polynomial rings in three variables, Jour. Amer. Math. Soc. 2004. Vol.17. P. 197-227.
Miyanishi M. Normal affine subalgebras of a polynomial ring, Algebraic and topological Theories - to the memory of Dr. Takehiko Miyata. Kinokuniya, Japan, 1985. P.37-51.
Adams W., Loustaunau P. An Introduction to Gröbner bases. Providence: American Mathematical Society. 1994. P. 306.
