Метод штрафных функций в одной задаче оптимального управления процессом в химическом реакторе

Аннотация

В работе рассматривается задача оптимального управления процессом в неадиабатическом трубчатом реакторе используемом в химической технологии. В реактор подается газ, который подвергается экзотермической реакции первого порядка. Реактор имеет внешнюю оболочку - кожух. Через кожух течет охлаждающая реактор жидкость. В свою очередь реактор изменяет температуру в кожухе.

 В качестве функции управления принимается скорость подачи охлаждающей жидкости в кожух. Подаваемая в кожух жидкость имеет постоянную температуру. Поэтому функция управления зависит лишь от времени.

  Величины температура реактора, концентрации реагирующей смеси меняются по протяженности реактора и времени реакции.

  Математическая модель реактора состоит из дифференциальных уравнений в частных производных и соответствующих краевых, начальных условий. При этом на температуру в реакторе и на управляющую функцию  накладываются соответствующие ограничения. Ограничение на температуру в реакторе учитывается при помощи введения в целевом функционале (в качестве слагаемой)  штрафной функции имеющего тип линейной срезки. Такой тип функции штрафа в математическом программировании обычно приводит к точному выполнению ограничении. Ограничения на управляющую функцию заданы в форме неравенств.

  В качестве целевого функционала принимается суммарное за фиксированный промежуток времени количество не прореагировавшего вещества на выходе реактора. Как отмечено выше, в целевой функционал добавляется функция штрафа. Целью управления является минимизация этого функционала.

    В работе доказывается теорема существование оптимального управления в такой задаче. В ходе доказательства используется ограниченность решений системы дифференциальных уравнений в частных производных в гельдеровских нормах. Это позволяет воспользоваться критерием Арцеля о компактности множества непрерывных функций. В ходе доказательства также используется слабая компактность множества функций управления в пространстве $L_2(0,T).$  При неограниченном увеличении штрафного коэффициента доказана сходимость к нулю функции штрафа, т.е. показана выполнимость, в пределе, фазового ограничения  на температуру в реакторе. Получены также некоторые, необходимые в дальнейшем, свойства слагаемых целевого функционала.