Оптимальные методы приближенного восстановления функций и решенийуравнений в частных производных вычислительными агрегатами по линейнымкомбинациям сеток Коробова со сверхсжатием информации и смежныевопросы

Аннотация

Удивительным примером сверхсжатия информации являются сетки узлов(точек в Евклидовом пространстве произвольной размерности) Н.М. Коробова, которыеопределяются двумя целыми положительными числами, одно из которых количество узлов.Как оказалось, квадратурные формулы с равными весами и этими сетками узлов почтиоптимальны в задаче численного интегрирования, тогда как в задачах восстановленияфункций по крайней мере в квадрат раз хуже неулучшаемо возможного.Тем самым, на возникаемый принципиальный вопрос "Можно ли, если можно,то как в задачах восстановления использовать предельно высокие качества сетокКоробова", автором был получен положительный ответ в задачах восстановления функцийи преобразований их кратных тригонометрических рядов Фурье, в частности, содержащихрешения уравнений в частных производных, в сложных в Вычислительной математике,Численном анализе и Теории приближений классах функций с доминирующимисмешанными производной и разностью. Именно, были построены сетки, явнымобразом представляющие собой линейные комбинации исходных сеток Коробова, что ввычислительной практике сохраняют свойства их сверхсжатия.В процессе решения этих задач были получены самостоятельного значения различныерезультаты в дискретной математике, по качеству заложенных в них приложений,быть может, даже не меньше с их помощью достигнутого. Если к числу известныхс большим спектром применений относятся характеристические функции одномерныхрешеток, то автором в Евклидовых пространствах любой размерности для произвольныхрешеток, с целочисленными невырожденными задающими матрицами построены иххарактеристические функции.Еще одним результатом в этом ряду являются явные решения сравнений, возникающихво многих задачах дискретной математики, среди которых находятся Линейныеконгруэнтные генераторы построения случайных чисел по тестам Ковэю-Макферсона,при всех усилиях в Компьютерных науках не поддававшиеся решению в течение почтиполувека, ход поисков которых постоянно освещался во всех изданиях монографии"Искусство программирования" Дональда Кнута, входящей в список 12-ти высшихпубликаций физико-математического цикла в 20-ом веке, с закрытием проблемы в 2016году Н. Темиргалиевым.Однако все эти результаты, и далеко не только, входившие в защищенную в 1999году Кандидатскую диссертацию автора были лишь частично анонсированы в тезисахВнутриказахстанских конференций и в Кратких сообщениях, самое большее с изложениемсхем доказательств.Тем самым, все результаты Диссертации оказались вне внимания в Международнойматематике, что с полными доказательствами восстанавливается в данной статье.