Информативная мощность всевозможных линейных функционалов и среднеквадратическая погрешность при дискретизации решений задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге

Аннотация

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в случае круга относится к классическим и в различных аспектах составляла предмет изучения в разных областях математики. Среди них такие темы, как

-              «Граничные свойства аналитических функций», при изучении которых создавались и оттачивались мощные методы теорий функций,

-              Проблема Банаха о существовании базиса для класса функций, состоящего из непрерывных в замкнутом круге и аналитических внутри,

-              Численные методы, поскольку данная задача как математическая модель описывает многие реальные процессы.

В данной работе рассмотрена задача дискретизации решений задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге по конечной числовой информации, полученной от граничной функции в результате применения всех возможных линейных функционалов. Найден оптимальный порядок погрешности дискретизации и построен соответствующий оптимальный оператор дискретизации.

Также рассмотрена задача построения вероятностных мер на функциональных классах. Введены вероятностные меры на классах Коробова  $E^r(0,2\pi)$ и Никольского $H^r_2(0,2\pi)$. Установлены двусторонние оценки среднеквадратической погрешности дискретизации решения задачи посредством оператора $(T_N f)(\alpha, \theta)$.