Соотношения между частными модулями гладкости функций с монотонными коэффициентами Фурье

Аннотация

Проблема оценивания модулей гладкости функций из L_q в терминах модулей гладкости из более широкого Лебеговского класса L_p известна давно. На начальном этапе в работах Титчмарша, Харди, Литтлвуда, Никольского  изучались свойства функций из классов Липшица и были получены соотвествующие вложения. Для модулей непрерывности функций одной переменной П.Л. Ульянов доказал неравенство, позже названное его именем – "неравенство Ульянова". Классическое вложение Харди- Литтлвуда для пространств  Липшица  является  следствием  из  неравенства  Ульянова. Как показал В.А. Андриенко, неравенство Ульянова является точным в шкале классов H^ω. Дальнейшее развитие этого направления связано с работами В.А. Андриенко, Э.А. Стороженко, М.К. Потапова, Л. Лейндлера, В.И. Коляды, П. Освальда, Н. Темиргалиева, С.В. Лапина и других математиков.

В.И. Коляда доказал, что неравенство Ульянова может быть усилено, и доказал соответствующее "неравенство Коляды". Неравенство Коляды точно в том смысле, что существует функция в L_p с любым заданным порядком модуля непрерывности, для которой эту оценку нельзя улучшить ни при каком значении δ. Ю.В. Нетрусов, М.Л. Гольдман, У. Требель распространили неравенство Коляды на модули гладкости высших порядков. Другим направлением исследований стало изучение дробных модулей гладкости в работах М.К. Потапова, Б.В. Симонова, С.Ю. Тихонова. Это позволило усилить неравенство Ульянова и проявило специфику и особую значимость использования дробных модулей гладкости, без которых, как оказалось, невозможно получить окончательные результаты.

В настоящей статье изучаются частные модули гладкости функций двух переменных. Получены неравенства, распространяющие неравенство Коляды на частные модули гладкости для функций с монотонными коэффициентами Фурье. Получены также оценки частных модулей гладкости производной функции с монотонными коэффициентами Фурье через частные модули гладкости исходной функции.