$L_p$ және $L_\infty$ метрикаларындағы аралас тегiстiк модульдерi арасындағы байланыстарды нақтылайтын теңсiздiктер

Аңдатпа

$ L_q $ кеңістігінде жататын функциялардың  тегістік   модульдерін олардың  $ L_p $ -дағы тегістік  модульдері  тұрғысынан бағалау проблемасы белгілі. Тегістік модульдерін бағалаудың бірінші кезеңі Липшиц кластарынан алынған функциялардың қасиеттерін зерттеу және Титчмарш, Харди, Литтвуд, Никольский жұмыстарындағы  олардың сәйкес енгізулерін алу болып табылады.

Липшиц кеңістіктері үшін  классикалық  Харди-Литтвуд кірістіруі  бір айнымалы функцияның үзіліссіздік  модулі үшін Ульянов теңсізігінің  қолдану нәтижесінде алуға болады. Ульянов  жұмыстарында оң бүтін ретті  тегістік   модульдері қарастырылады. Бөлшек ретті тегістік модульдерін енгізу Потапов, Симонов, Тихонов еңбектерінде Ульянов теңсіздігін күшейтуге мүмкіндік берді. Аралас  тегістік модульдеріне бағалаулар ала отырып, кейінрек, сол авторлар Ульянов теңсіздігін екі айнымалы функция жағдайына жалпылады.  Бұл теңсіздіктердің дәлдігі $ 1 <p <q <\infty $ және  $ 1 = p <q = \infty $ жағдайларында дәлелденді.

Мақалада екі айнымалы функциялар үшін бөлшек ретті аралас тегістік модульдері зерттеледі.

$ 1 <p <q = \infty $ жағдайында  $ L_p $ және $ L_q $ метрикаларындағы аралас  тегістік модульдері  арасындағы  бұрын белгілі Ульянов типті теңсіздіктерін нақтылайтын тңсіздіктер алынды.  Алынған бағалаулардың нақтылығы зерттелді.  Осы және бұрын белгілі  болған бағалаулардың  өзара байланысы зерттелді.