Неравенства, уточняющие связи между смешанными модулями гладкости в метриках $L_p$ и $L_\infty$

Аннотация

Проблема оценивания модулей гладкости функций из $L_q$ в терминах их модулей гладкости из $L_p$ хорошо известна. Первым этапом оценивания модулей гладкости стало изучение свойств функций из классов Липшица и получение соответствующих вложений в работах Титчмарша, Харди, Литтлвуда, Никольского.

Классическое вложение Харди-Литтлвуда для пространств Липшица может быть получено как  следствие из неравенства Ульянова для модулей непрерывности функции одной переменной. В работах Ульянова рассматривался модуль гладкости натурального порядка. Введение дробных модулей гладкости позволило в работах Потапова, Симонова, Тихонова усилить неравенство Ульянова. Позже те же авторы смогли обобщить неравенство Ульянова на функции двух переменных, получив оценки для смешанных модулей гладкости. Точность этих неравенств была доказана в случае, когда $1<p<q<\infty$ или  $1=p<q=\infty$.

 В настоящей статье изучаются смешанные модули гладкости дробных порядков функции двух переменных. Получены неравенства, уточняющие ранее известные оценки типа неравенств Ульянова между смешанными модулями гладкости в метриках $L_p$ и $L_q$ при значениях $1<p<q=\infty$. Исследована точность полученных оценок. Изучена взаимосвязь этих и ранее известных оценок.