Обобщенные решения краевых задач для уравнения Даламбера с локальными и связанными граничными условиями

Аннотация

Рассматриваются начально-краевые задачи для волнового уравнения с
локальными и нелокальными линейными краевыми условиями на концах отрезка общего
вида. Для их решения разработан метод обобщенных функций, который переводит
исходные краевые задачи в решение волнового уравнения с сингулярной правой частью,
содержащей сингулярные простые и двойные слои, плотности которых определяются
граничными и начальными значениями искомой функции и ее производных. Получено
интегральное представление решения через граничные функции, которые являются
обобщением формулы Грина для решений волнового уравнения. Для определения
неизвестных граничных функций построена в пространстве преобразований Фурье по
времени разрешающая система из двух линейных алгебраических уравнений, которая
связывает 4 граничные значения решения и его производных.Совместно с двумя краевыми
условиями локального и нелокального типа построена разрешающая система уравнений
для решения поставленных начально-краевых задач. На ее основе даны аналитические
решения для классических трех краевых задач с условиями Дирихле, Неймана и
смешанными на концах отрезка. Разработанный метод позволяет решать краевые
задачи с различными локальными и нелокальными краевыми условиями и должен найти
применение при решении волновых и других уравнений на графах различной структуры