Обобщения предпорядка Рудин–Кейслера и их теоретико-модельные приложения

Аннотация

В статье введены отношения $R_\alpha$ (и~$R_{<\alpha}$) на множестве $\beta\omega$ ультрафильтров на $\omega$, которые обобщают предпорядок Рудин-Кейслера. Эти отношения образуют ординальную последовательность длины $\omega_1$, строго возрастающую по включению и лежащую между предпорядком Рудин–Кейслера и предпорядком Комфорта. В статье показано, что композиция этих отношений выражается через операцию, близкую к умножению ординалов. Явные вычисления этой операции показывают, что $R_{<\alpha}$ является транзитивным (и, следовательно, предпорядком), тогда и только тогда, когда ординал $\alpha$ мультипликативно неразложим. Предложенные конструкции имеют ряд теоретико-модельных следствий. Существенно обобщая результаты Гарсия-Ферейры, Хиндмана и Штраусс  о взаимосвязи между ультрарасширениями полугрупп и предпорядком Комфорта, авторы доказывают, что для любой модели $\mathfrak A$, ультрафильтра $\mathfrak u$ и ординала $\alpha$, множество $\{\mathfrak u : \mathfrak u\,R_{<\alpha}\,\mathfrak v\}$ образует подмодель ультрарасширения $\beta\mathfrak A$ модели $\mathfrak A,$ тогда и только тогда, когда ординал $\alpha$ аддитивно неразложим. Кроме того, обобщая характеризацию предпорядка Рудин–Кейслера, данную Блассом с помощью ультрастепеней, авторы дают характеризацию отношений $R_\alpha$ и, в частности, предпорядка Комфорта через специальную версию предельных ультрастепеней.