Structural sums on the complex plane and their application to composite materials

Владимир Митюшев

doi:10.32523/bulmathenu.2024/4.2

Авторы

Владимир Митюшев Краковский технологический университет https://orcid.org/0000-0001-6963-1896

DOI:

https://doi.org/10.32523/bulmathenu.2024/4.2

Ключевые слова:

структурная сумма, эффективные свойства композитов, гомогенизация, строго стационарное поле, R-линейная задача, асимптотический анализ

Аннотация

Рассматривается двумерный двухкомпонентный композит, состоящий из непересекающихся идентичных круглых дисков, вставленных в однородную среду. Проводимость рассматриваемых композитов моделируется с помощью математической задачи линейного сопряжения для функций, аналитических в областях, занимаемых компонентами
композитов, и непрерывных в их замыканиях. Эффективная электропроводность этих дисперсных композитов может быть определена с помощью конструктивной теории гомогенизации, которая предполагает строго стационарные поля. Метод суммирования Эйзенштейна применяется для анализа условно сходящихся сумм, возникающих в процессе
гомогенизации. Кроме того, приближение Клаузиуса-Моссотти, которое справедливо для макроскопически изотропных двумерных композитов с точностью до $O(f3)$ , обосновано для случайных композитов. Получена новая аналитическая формула для тензора эффективной проводимости макроскопически анизотропных композитов с точностью до O(f3). Эта формула содержит условно сходящуюся сумму $S'_2$, совпадающую с суммой решетки Рэлея, вычисленной методом суммирования Эйзенштейна. Более того, $S'_2$ зависит от кривой, соединяющей конечную точку с бесконечностью. Этот подход обеспечивает теоретическую основу для понимания поведения таких материалов и позволяет получить представление об их эффективных свойствах электропроводности.

Биография автора

Владимир Митюшев, Краковский технологический университет

Доктор наук, профессор, Факультет компьютерных наук и телекоммуникаций, Краковский технологический университет, ул. Варшавская, 24, Краков, Польша

Библиографические ссылки

Akhiezer N.I. Elements of the Theory of Elliptic Functions. AMS, Translations of Mathematical Monographs, Providence, R.I., 1990.

Andrianov I.V., Danishevs’ kyy V.V. , and Weichert D. Simple estimation on effective transport properties of a random composite material with cylindrical fibres, Zeitschrift fuer angewandte Mathematik und Physik. 2008. Vol. 59. P. 889–903.

Berlyand L. and Mityushev V. Generalized clausius–mossotti formula for random composite with circular fibers, Journal of Statistical Physics. 2001. Vol. 102. P. 115–145.

Berlyand L. and Mityushev V. Increase and decrease of the effective conductivity of two phase composites due to polydispersity, Journal of statistical physics. 2005. Vol. 118. P. 481–509.

Bojarski B. and Mityushev V. R-linear problem for multiply connected domains and alternating method of schwarz, Journal of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 189(1). P. 68–77.

Dryga´s P. Functional-differential equations in a class of analytic functions and its application to elastic composites, Complex Variables and Elliptic Equations. 2016. Vol. 61(8). P. 1145–1156.

Gambin B. Influence of the microstructure on the properties of elastic, piezoelectric and thermoelastic composites, IFTR Reports. 2006. Vol. 12. P. 2006.

Golden K. and Papanicolaou G. Bounds for effective parameters of heterogeneous media by analytic continuation, Communications in Mathematical Physics. 1983. Vol. 90(4). P. 473–491.

Govorov N.V. Riemann’s boundary problem with infinite index, volume 67. Birkha¨user, 2012.

Jikov V.V., Kozlov S.M., and Oleinik O.A. Homogenization of differential operators and integral functionals. Springer Science and Business Media, 2012.

McKenzie D.R., McPhedran R.C., and Derrick G.H. The conductivity of lattices of spheres-ii. the body centred and face centred cubic lattices, Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. 1978. Vol. 362(1709). P. 211–232.

McPhedran R.C. Transport properties of cylinder pairs and of the square array of cylinders, Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. 1986. Vol. 408(1834). P. 31–43.

McPhedran R.C. and McKenzie D.R. The conductivity of lattices of spheres i. the simple cubic lattice, Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. 1978. Vol. 359(1696). P. 45–63.

Mityushev V. Transport properties of two–dimensional composite materials with circular inclusions, Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 1999. Vol. 455(1987). P. 2513–2528.

Mityushev V. Representative cell in mechanics of composites and generalized eisenstein–rayleigh sums, Complex Variables and Elliptic Equations. 2006. Vol. 51(8-11). P. 1033–1045.

Mityushev V. Exact solution of the r-linear problem for a disk in a class of doubly periodic functions, Journal of Applied Functional Analysis. 2007. Vol. 2(2).

Mityushev V., Kycia R., Nawalaniec W., and Rylko N. Introduction to mathematical modeling and computer simulations. Francis and Taylor/CRC, 2025.

Lord Rayleigh. Lvi. on the influence of obstacles arranged in rectangular order upon the properties of a medium, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 1892. Vol. 34(211). P. 481–502.

Mityushev V., Gluzman S. and Nawalaniec W. Computational Analysis of Structured Media. Academic Press, Elsevier, Amsterdam, 2018.

Telega J.J. Stochastic homogenization: convexity and nonconvexity. In Nonlinear Homogenization and Its Applications to Composites, Polycrystals and Smart Materials, pages 305–347. Springer, 2004.

Weil A. Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker, volume 88. Springer Science and Business Media, 1999.