Некоторые замечания о замкнутых линейных подпространствах в пространствах Бергмана

Аннотация

Классические результаты Гротендика и Субраманиана заложили фундамен-тальные принципы вложения подпространств в пространства $L_p$, тогда как более поздние исследования распространили эти идеи на пространства Бергмана голоморфных функций, определённых на ограниченных комплексных областях. В этом контексте особую актуальность приобретает исследование количественных оценок размерности замкнутых подпространств, вложенных в пространства Бергмана с более сильными условиями интегрируемости.    В работе исследуется задача типа Гротендика о конечномерности для замкнутых линейных подпространств пространства Бергмана $A_p(\Omega,d\lambda)$ голоморфных функций, $p$-интегрируемых относительно меры Лебега на ограниченной области $\Omega\subset\mathbb{C}^n$, непрерывно вложенных в пространство Бергмана $A_q(\Omega, d\lambda)$ при $q>p\ge 1$. Доказано, что всякое замкнутое линейное подпространство $S_p^{(q)}\subset A_p(\Omega,d\lambda), \qquad S_p^{(q)}\hookrightarrow A_q(\Omega,d\lambda)$, является конечномерным. Более того, если $\dim S_p^{(q)}=N$, то размерность $N$ удовлетворяет количественной оценке $\frac{\omega _{N}^{2(q-1)/q}}{N}\frac{|\Omega |^{\frac{% 2-q}{q}}}{k_{N}(\xi {0})^{2(q-1)/q}}\leq \tilde{K}{p,q}^{2} $, где $\omega_N=|SU(N)|$ --- объём компактной унитарной группы $SU(N)$, $|\Omega|$ --- объём области $\Omega, k_N(\xi_0)$ --- соответствующий параметр однородности в точке $\xi_0=(1, 0, \ldots, 0)_N\in\partial\mathbb D^N$, а $\widetilde K_{p,q}>0$ --- константа вложения.