Бергман кеңістіктеріндегі тұйық сызықтық ішкі кеңістіктер туралы кейбір ескертулер

Аңдатпа

Гротендик пен Субраманианның классикалық нәтижелері $L_p$ кеңістіктеріне ішкі кеңістіктерді енгізудің іргелі қағидаларын қалыптастырды, ал кейінгі зерттеулер бұл идеяларды шектелген комплекс облыстарында анықталған голоморфты функциялардың Бергман кеңістіктеріне жалпылады. Осы тұрғыдан алғанда, интегралдану шарттары күштірек болатын Бергман кеңістіктеріне енгізілген тұйық ішкі кеңістіктердің өлшемділігіне қатысты сандық бағаларды зерттеу ерекше өзектілікке ие.   Бұл жұмыста шенелген  $\Omega\subset\mathbb{C}^n$ облысында Лебег өлшеміне қатысты $p$-интегралданатын голоморфты функциялардың $A_p(\Omega,d\lambda)$ Бергман кеңістігінің тұйық сызықтық ішкі кеңістіктері үшін Гротендик типіндегі ақырлы өлшемділік мәселесі қарастырылады. Атап айтқанда, $q>p\ge1$ жағдайында $A_p(\Omega,d\lambda)$ кеңістігінің $A_q(\Omega,d\lambda)$ Бергман кеңістігіне үзіліссіз енгізілетін тұйық сызықтық ішкі кеңістіктері зерттеледі. Кез келген $ S_p^{(q)}\subset A_p(\Omega,d\lambda), \qquad S_p^{(q)}\hookrightarrow A_q(\Omega,d\lambda) $ тұйық сызықтық ішкі кеңістігінің ақырлы өлшемді болатыны дәлелденді. Сонымен қатар, $\dim S_p^{(q)}=N $ болғанда, оның өлшемділігі үшін  $\frac{\omega _{N}^{2(q-1)/q}}{N}\frac{|\Omega |^{\frac{ 2-q}{q}}}{k_{N}(\xi {0})^{2(q-1)/q}}\leq \tilde{K}{p,q}^{2}$ сандық бағалауы  алынады, мұндағы $\omega_N=|SU(N)|$ — $SU(N)$ ықшам арнайы унитарлық тобының көлемі, $|\Omega|$ — $\Omega$ облысының көлемі, $k_N(\xi_0)$ — $\xi_0=(1,0,\ldots,0)N\in\partial\mathbb D^N$ нүктесіне сәйкес келетін біртектілік параметрі, ал $\widetilde K{p,q}>0$ — енгізу тұрақтысы.