О слабой сходимости эмпирических мер для множеств, минимизирующих расстояние Хаусдорфа
Просмотры: 141 / Загрузок PDF: 86
DOI:
https://doi.org/10.32523/bulmathenu.2025/4.2Ключевые слова:
Hausdorff distance, empirical measures, quantization, Voronoi cells, weak convergence, metric compactaАннотация
В данной работе исследуется асимптотическое поведение конечных множеств, минимизирующих расстояние Хаусдорфа до компактного метрического пространства. Основная цель состоит в установлении условий, при которых эмпирические меры, поддержанные на этих оптимальных множествах, слабо сходятся к нормированной мере Хаусдорфа.
Для этого вводится класс равномерно асимптотически открытых выпуклых евклидовых метрик. Эти метрики характеризуют пространства, обладающие локальной евклидовой структурой в асимптотическом смысле, что позволяет проводить строгий анализ геометрии ячеек Вороного.
В работе предлагается достаточная переформулировка слабой сходимости, основанная на концепции множеств, равномерно «поглощающих» границы ячеек Вороного относительно регулярной меры.
Для частного случая связного одномерного многообразия (окружности) приводится полное доказательство слабой сходимости к нормированной одномерной мере Хаусдорфа. В сравнении с одномерным случаем, где даётся ясный результат благодаря простой структуре границ ячеек Вороного, в заключении отмечается, что случаи большей размерности остаются открытой задачей из-за возросшей геометрической сложности соответствующих ячеек Вороного.
Библиографические ссылки
L.B. Koralov, Ya.G. Sinai, Theory of Probability and Random Processes, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007, 109-110 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-68829-7
V.I. Bogachev, Measure Theory, V. 1,2. Springer-Verlag, Berlin, 2007. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-34514-5_1
Загрузки
Опубликован
Как цитировать
Выпуск
Раздел
