On Weak Convergence of Empirical Measures for Sets Minimizing the Hausdorff Distance

Тимур Ширинкин

doi:10.32523/bulmathenu.2025/4.2

Авторлар

Тимур Ширинкин «Экономика Жоғары Мектебі» Ұлттық зерттеу университеті

DOI:

https://doi.org/10.32523/bulmathenu.2025/4.2

Кілт сөздер:

Хаусдорф қашықтығы, эмпирикалық өлшемдер, кванттау, Вороной ұяшықтары, әлсіз жинақталу, метрикалық компактар

Аңдатпа

Жұмыста компакты метрикалық кеңiстiкке дейiнгi Хаусдорф арақашықтығын минимизациялайтын ақырлы жиындардың асимптотикалық өзгерiсi зерттеледi. Негiзгi мақсат – осы оптималды жиындарда анықталған эмпирикалық өлшемдердiң нормаланған Хаусдорф өлшемiне әлсiз жинақталуын жүзеге асыратын шарттарды анықтау.
Осы мақсатта бірқалыпты асимптотикалық ашық дөңес евклидтік метрикалар класы енгізіледі. Вороной ұяшықтарының геометриясын қатаң талдауға мүмкіндік беретін бұл метрикалар кеңістіктердің асимптотикалық мағынада локалды евклидтік құрылымға ие екенін сипаттайды. Регулярлы өлшемге қатысты Вороной ұяшықтарының шекараларын бірқалыпты «жұтатын» жиындар ұғымына негізделген әлсіз жинақталудың жеткілікті қайта тұжырымдамасы ұсынылады. Байланысты бірөлшемді көпбейнелердің (шеңбердің) дербес жағдайы үшін нормаланған бірөлшемді Хаусдорф өлшеміне әлсіз жинақталудың толық дәлелі келтіріледі. Бірөлшемді жағдай Вороной ұяшықтары шекараларының қарапайым құрылымына байланысты айқын нәтиже бергенімен де көпөлшемді жағдайлар сәйкес Вороной ұяшықтарының геометриялық күрделілігінің артуына байланысты әлі де ашық мәселе болып қалатыны атап өтіледі.

Әдебиеттер тізімі

L.B. Koralov, Ya.G. Sinai, Theory of Probability and Random Processes, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007, 109-110 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-68829-7

V.I. Bogachev, Measure Theory, V. 1,2. Springer-Verlag, Berlin, 2007. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-34514-5_1