Оптимальное восстановление функций из обобщенного анизотропного класса Соболева в контексте К(В)П

Аннотация

В статье полностью решена задача восстановления функций из анизотропного обобщённого класса Соболева $W_2^{\omega_{r_1},...,\omega_{r_s}}$ в контексте компьютерного (вычислительного) поперечника. Анизотропный обобщенный класс Соболева $W_2^{\omega_{r_1},...,\omega_{r_s}}$ как результат классификации периодических функций по скорости убывания их тригонометрических коэффициентов Фурье является более тонкой шкалой характистики функций по сравнению с анизотропным классом Соболева $W_2^{r_1,...,r_s}$ в степенной шкале. В работе получены двусторонние оценки с точностью до константы для погрешности приближения функций из рассматриваемого класса вычислительными агрегатами, построенными по информации, заданной линейными функционалами. Кроме того, на основе тригонометрических коэффициентов Фурье в явном виде построен оптимальный вычислительный агрегат, обеспечивающий наилучшее приближение. Отметим, что множество вычислительных агрегатов $(l^{(N)},\varphi_N)$ в оценке снизу является достаточно широким множеством, содержащим все частичные суммы рядов Фурье по всевозможным ортонормированным системам, всевозможные конечные свертки со специальными ядрами, а также все конечные суммы приближения, использующиеся в ортопоперечниках, линейных поперечниках и жадных алгоритмах. В статье согласно второй части поставленной задачи найдена погрешность $\overline{\varepsilon}_{N}$ числовой информации вида тригонометрических коэффициентов Фурье, сохраняющая оптимальность вычислительного агрегата и неулучшаемая по порядку. В третьей части доказано, что все построенные по тригонометрическим коэффициентам Фурье вычислительные агрегаты не имеют большей предельной погрешности чем $\overline{\varepsilon}_{N}$.