Дисперсті композиттердің математикалық модельдеуі мен тиімді қасиеттері
Қаралымдар: 249 / PDF жүктеулері: 145
DOI:
https://doi.org/10.32523/bulmathenu.2026/1.3Кілт сөздер:
гомогенизация теориясы, дисперсті композиттер, өзін-өзі келісімді әдіс, асимптотикалық талдау, символдық есептеулерАңдатпа
Дисперсті композиттердің тиімді қасиеттерін, мысалы, электрөткізгіштігі мен диэлектрлік өтімділігін анықтау гомогенизация теориясындағы негізгі мәселелердің бірі болып қала береді. Бұл мақалада өзін-өзі келісімді әдіске (Self-Consistent Method) және оның заманауи нұсқаларына жан-жақты талдау жасалады. Көптеген «жаңа модельдер» шын мәнінде қосындылар концентрациясы бойынша бірінші ретті жуықтаулар ғана екені және олардың Максвелл, Клаузиус, Моссотти және басқа ғалымдардың классикалық нәтижелерін қайта өндіретіні көрсетіледі. Қосындылар концентрациясы мен фазалар қасиеттерінің контраст параметрлерін ескере отырып, дәлдікті бағалаудың қатаң әдістемесі ұсынылады. Стандартты бағдарламалық пакеттерді қолданатын сандық модельдеуге ерекше назар аударылады, өйткені есептеулердің жабық сипаты көбінесе қосындылардың ықтималдық үлестірімдерін жасырып қалады. Зерттеу нәтижелері дисперсті кездейсоқ композиттерді талдауда математикалық модель ұғымының жиі қате қолданылатынын көрсетеді, әсіресе гомогенизация мен асимптотикалық талдаудың іргелі қағидалары ескерілмеген жағдайда. Сонымен қатар, аналитикалық тұрғыдан дұрыс және дәлдігі нақты бағаланған формулаларды шығару үшін символдық есептеулерді тиімді пайдалануға болатыны дәлелденеді.
Материалдардың тиімді параметрлерін анықтауда аналитикалық тәсілдер мен сандық модельдеу арасындағы өзара байланысқа ерекше көңіл бөлінеді. Жұмыста сенімді болжамдар жасау үшін гомогенизация теориясының іргелі қағидаларын сақтау және композиттердің стохастикалық микроқұрылымын дұрыс есепке алу қажеттігі көрсетілген. Классикалық және заманауи тәсілдерді салыстыру арқылы кеңінен қолданылатын жуықтаулардың қолданылу шектері анықталып, олардың асимптотикалық дәлдігі нақтыланады. Сондай-ақ есептеу рәсімдерінің ашықтығының маңыздылығы көрсетіліп, қосындылар геометриясының, олардың концентрациясының және кеңістіктік таралуының материалдың тиімді қасиеттеріне әсерін дұрыс түсіндіруге мүмкіндік беретіні атап өтіледі. Ұсынылған әдістеме дисперсті композиттерге біртұтас көзқарас қалыптастырып, тиімді орта теориялары, есептеуіш гомогенизация және көпфазалы материалдар саласында жұмыс істейтін зерттеушілерге практикалық ұсынымдар береді.% Аннотация на казахском языке.
Әдебиеттер тізімі
I. Andrianov and V. Mityushev, Exact and “exact” formulae in the theory of composites, Modern Problems in Applied Analysis, Springer International Publishing, Cham, 2018, 15–34. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-72640-3_2
N.S. Bakhvalov and G. Panasenko, Homogenisation: averaging processes in periodic media: mathematical problems in the mechanics of composite materials. Springer Science and Business Media, 2012.
W. Bielski and R. Wojnar, Plane flow through the porous medium with chessboard-like distribution of permeability, 2nd Workshop on Porous Media, 2018, 7.
B. Bojarski and V. Mityushev, R-linear problem for multiply connected domains and alternating method of Schwarz, Journal of Mathematical Sciences 189 (2013), no 1, 68–77. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-013-1173-4
D.A.G. Bruggeman, Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. I. Dielektrizitatskonstanten und Leitfahigkeiten der Mischkorper aus isotropen Substanzen, Annalen der Physik 416 (1935), no 7, 636–664. DOI: https://doi.org/10.1002/andp.19354160705
A. Cherkaev, Optimal three-material wheel assemblage of conducting and elastic composites, International Journal of Engineering Science 59 (2012), 27–39. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2012.03.007
A. Cherkaev and A.D. Pruss, Effective conductivity of spiral and other radial symmetric assemblages, Mechanics of Materials 65 (2013), 103–109. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2013.05.004 DOI: https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2013.05.004
A. Cherkaev, V. Mityushev, N. Rylko, and P. Kurtyka, The generalized Hashin–Shtrikman approach to Al/nano-TiC composite, Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 478:2263 (2022). https://doi.org/10.1098/rspa.2022.0164 DOI: https://doi.org/10.1098/rspa.2022.0164
R. Czapla, P. Drygas, S. Gluzman, T. Ligocki, and V. Mityushev, Computational Strategy for Analyzing Effective Properties of Random Composites. Part II. Elasticity, Materials 18 (2025), 5041. DOI: https://doi.org/10.3390/ma18215041
A.M. Dykhne, Conductivity of a two-dimensional two-phase system, Soviet Physics JETP 32 (1971), no 1, 63–65.
S. Gluzman, V. Mityushev, and W. Nawalaniec, Computational Analysis of Structured Media. Academic Press, Elsevier, Amsterdam, 2017.
S. Gluzman, Z. Zhunussova, A. Sarvarov, and V. Mityushev, Protocol-Dependent Critical Exponents in Random Composites: Beyond Universality, Symmetry 18 (2026), no 4, 700. DOI: https://doi.org/10.3390/sym18040700
D. Grzonka, The New Engineer: Psychology, Systems, Open Source. Talk at the WordCamp Europe, Krakow, Poland, 4–6 June, 2026.
Z. Hashin and S. Shtrikman, A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials, Journal of Applied Physics 33 (1962), 3125–3131. https://doi.org/10.1063/1.1728579 DOI: https://doi.org/10.1063/1.1728579
R. Hill, Elastic properties of reinforced solids: Some theoretical principles, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 11 (1963), 357–372. DOI: https://doi.org/10.1016/0022-5096(63)90036-X
R. Hill, A self-consistent mechanics of composite materials, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 13 (1965), 213–222. DOI: https://doi.org/10.1016/0022-5096(65)90010-4
V.V. Jikov, S.M. Kozlov, and O.A. Oleinik, Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals. Springer Science & Business Media, 2012.
J.B. Keller, A theorem on the conductivity of a composite medium, Journal of Mathematical Physics 5 (1964), no 4, 548–549. DOI: https://doi.org/10.1063/1.1704146
R. Landauer, Electrical conductivity in inhomogeneous media, AIP Conference Proceedings 40 (1978), no 1, 2–45. DOI: https://doi.org/10.1063/1.31150
G. Matheron, Eléments pour une théorie des milieux poreux. Masson, Paris, 1967.
J.C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, Vol. 1. Clarendon Press, 1873.
J.C.M. Maxwell-Garnett, Colours in Metal Glasses and in Metallic Films, Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 203 (1904), no 359–371, 385–420. DOI: https://doi.org/10.1098/rsta.1904.0024
S.G. Mikhlin, Integral Equations: and Their Applications to Certain Problems in Mechanics, Mathematical Physics and Technology, Vol. 4. Elsevier, 2014.
V. Mityushev, Hilbert boundary value problem for multiply connected domains, Complex Variables 35 (1998), 283–295. DOI: https://doi.org/10.1080/17476939808815087
V. Mityushev, R-linear problem on torus and its application to composites, Complex Variables 50 (2005), no 7–10, 621–630. DOI: https://doi.org/10.1080/02781070500086982
V.V. Mityushev, R-linear and Riemann–Hilbert Problems for Multiply Connected Domains, Advances in Applied Analysis. Springer Basel, Basel, 2012, 147–176. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0417-2_4
V. Mityushev and P. Dryga'{s}, Effective Properties of Fibrous Composites and Cluster Convergence, SIAM Journal on Multiscale Modeling and Simulation 17 (2019), no 2, 696–715. https://doi.org/10.1137/18M1184278 DOI: https://doi.org/10.1137/18M1184278
V. Mityushev and N. Rylko, Effective properties of two-dimensional dispersed composites. Part I. Schwarz's alternating method, Computers and Mathematics with Applications 111 (2022), 50–60. DOI: https://doi.org/10.1016/j.camwa.2022.02.006
V. Mityushev, Effective properties of two-dimensional dispersed composites. Part II. Revision of self-consistent methods, Computers and Mathematics with Applications 121 (2022), 74–84. DOI: https://doi.org/10.1016/j.camwa.2022.07.003
V. Mityushev, R.A. Kycia, W. Nawalaniec, and N. Rylko, Introduction to Mathematical Modeling and Computer Simulations. Chapman and Hall/CRC, 2025. DOI: https://doi.org/10.1201/9781032684284
T. Mori and K. Tanaka, Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions, Acta Metallurgica 21 (1973), no 5, 571–574. DOI: https://doi.org/10.1016/0001-6160(73)90064-3
A.N. Norris, A differential scheme for the effective moduli of composites, Mechanics of Materials 4 (1985), no 1, 1–16. DOI: https://doi.org/10.1016/0167-6636(85)90002-X
Y.V. Obnosov, Exact solution of a boundary-value problem for a rectangular checkerboard field, Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 452 (1996), no 1954, 2423–2442. DOI: https://doi.org/10.1098/rspa.1996.0130
A. Bensoussan, J.L. Lions, and G. Papanicolaou, Asymptotic Analysis for Periodic Structures, Vol. 374. American Mathematical Society, 2011. DOI: https://doi.org/10.1090/chel/374
L. Rayleigh, On the influence of obstacles arranged in rectangular order upon the properties of a medium, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 34 (1892), no 211, 481–502. DOI: https://doi.org/10.1080/14786449208620364
K. Schulgasser, Sphere assemblage model for polycrystals and symmetric materials, Journal of Applied Physics 54 (1983), 1380–1382. https://doi.org/10.1063/1.332161 DOI: https://doi.org/10.1063/1.332161
S. Yakubovich, P. Drygas, and V. Mityushev, Closed-form evaluation of two-dimensional static lattice sums, Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 472 (2016), no 2195. DOI: https://doi.org/10.1098/rspa.2016.0510
A.Z. Zhubanysheva, N. Temirgaliev, and Z.N. Temirgalieva, Application of divisor theory to the construction of tables of optimal coefficients for quadrature formulas, Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki 49 (2009), no 1, 14–25. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542509010023
Жүктеулер
Жарияланды
Дәйексөзді қалай келтіруге болады
Журналдың саны
Бөлім
